Tarde de júbilo

El pasado viernes, 5 de junio, tuvo lugar la Fiesta de Despedida de los Alumnos que finalizan sus estudios en nuestro centro. Alegría fue la palabra más repetida y Benedetti, el poeta más citado. En el poema de este autor uruguayo, leído por el presentador del acto, Antonio Serrano, se resume el mensaje que se llevaron los alumnos: defender el sentimiento de alegría, es decir, una actitud siempre favorable ante los retos que les ofrece el futuro, como un principio que les ayudará a superarlos y a crecer como personas.

En el salón de actos, se celebró el acto académico, con las intervenciones de los representantes de los tres estamentos educativos: dos alumnas de 2º de Bachilletato (Aurora Luque Moreno y Cistina Modrego García) y una del Ciclo Formativo de Restauración (Natividad Uclés Medina) tomaron la palabra para recordar con emoción su estancia en el centro, sus relaciones con sus compañeros y profesores, su proceso de aprendizaje; un miembro de la Asociación “Mateo Inurria” (Francisco Ruiz Calero) nos ofreció el punto de vista de los padres y madres, que comparten las preocupaciones de los hijos, que les ayudan en la ardua tarea del estudio y que esperan de ellos lo mejor; y el director, Miguel Osuna, que logró conmovernos con palabras sencillas, pero llenas de sabiduría; palabras dirigidas sobre todo a los alumnos, consejos tomados de los escritores clásicos: tened siempre curiosidad ante las cosas, porque la curiosidad es la que nos hace aprender, dad sin esperar nada a cambio…

Después, la entrega de diplomas a los alumnos que habían conseguido la calificación de Sobresaliente Matrícula de Honor en 2º de Bachilletaro; de premios a los ganadores en el Concurso de Astronomía, que con tanta entrega y brillantez ha llevado nuestro compañero José Carlos Domínguez ; y , por fin, la esperada imposición de bandas e insignias.

Daba gusto contemplar las caras de satisfacción de los alumnos, bajando contentos del escenario, satisfechos del trabajo realizado. También el orgullo de los padres, que no paraban de hacerles fotografías, para inmortalizar el momento. Y por supuesto de nosotros, los profesores, que los hemos tenido como alumnos y que, en la parte que nos corresponde, nos sentimos responsables de su formación.

Para finalizar el acto académico, los alumnos de 2º de Bachillerato nos ofrecieron un montaje audiovisual, que provocó La hilaridad de los asistentes, con una sucesión de fotografías, que resumían su estancia en el instituto Gran Capitán. Las más divertidas fueron las fotos de pequeño de los profesores que originaron una auténtica fiesta de risas y carcajadas en el salón de actos.

En el restaurante Pizzaiolo, celebramos la cena. Un brindis por su futuro, por el futuro de los alumnos, que “se acerca lento, pero viene” –como diría Mario Benedetti- y por el deseo de que, en este futuro, consigan lo mejor, tanto en lo personal, como en lo académico y profesional, puso fin a esta tarde-noche de júbilo. Bueno, algunos, siguieron la fiesta, hasta bien entrada la madrugada.

Matías Regodón

CONCURSO DE ASTRONOMÍA. SEXTO PROBLEMA

CONCURSO DE ASTRONOMÍA. SEXTO PROBLEMA.
Mayo de 2.009.
ALGUNAS MEDIDAS SOBRE JUPITER.

   Vamos a finalizar esta serie de problemas intentando conocer algunas medidas de uno de nuestros compañeros en el Sistema Solar: el planeta Jupiter.

   Hemos calculado ya en el problema correspondiente al mes de Abril su periodo de rotación.

   Su periodo de traslación no es complicado de determinar con algo de paciencia y dedicación y se estima que dura: 11 años, 315 dias y 1,1 horas terrestres.

Con este dato, si recordamos que la razón:  T² / R³, donde T= tiempo que tarda un planeta en recorrer su órbita.

y R= el semieje mayor de su órbita, permanece constante para cada planeta. Puesto que conocemos por problemas anteriores los valores de T y R para la Tierra y acabamos de conocer T para Jupiter, podemos deducir el valor de R para Jupiter. Podemos conocer de esta manera la distancia a la que se encuentra Jupiter del Sol. Si pretendemos calcular la distancia que nos separa a nosotros de Jupiter, basta hacer una simple resta:

   Si notamos por: R(T) a la distancia entre el Sol y la Tierra

                                    R(J) a la distancia entre el Sol y Jupiter.

   Y suponemos las orbitas por simplificación, circulares, tendremos que la distancia entre la Tierra y Jupiter, quedará:     d(Tierra, Jupiter)= R(J) – R(T).

   Una vez conocdo este dato, si medimos el tamaño angular del planeta con nuestro ocular micrométrico, podemos conocer, utilizando una vez más la trigonometría plana, el radio del planeta.

   problemamayo1

                           

    En la imagen anterior, si nos fijamos en el triángulo de vértices AOB, nos encontramos con un triángulo rectángulo (aproximadamente), del que conocemos el ángulo en A ( justo la mitad del tamaño angular del planeta), y el lado OA (conocida la distancia entre la Tierra y Jupiter y el radio de la Tierra, no hay problema en conocerlo). Para determinar el lado OB, basta con proceder de la siguiente forma:

   tg (α/2) = OB / OA.

  De donde el radio de Jupiter:  OB = OA. tg(α/2). 

   Aunque el tamaño angular del planeta, α,  es sin duda algo que podemos medir nosotros, hay que esperar en estas fechas hasta altas horas de la madrugada para poder observar a Jupiter. Es por esta razón por la que tambien vamos a tomar un dato bibliográfico para él. En su última oposición, la de 2.008 rondó su tamaño angular los 48″ de arco, i. e. podemos tomar α = 48″ para nuestros cálculos. 

   Una vez que conocemos el radio del planeta OB, basta con hacer un seguimiento sistemático del sistema que forma con sus principales satélites ( los satélites Galineanos: Io, Europa, Ganímedes y Calixto, que son facilmente observables con cualquier telescopio), para hacer un cálculo, no sólo de los periodos de traslación de éstos alrededor del planeta, sino para calcular la máxima elongación, i. e. : el radio de las órbitas ( que supondremos por simplificación circulares).

   Para hacer este seguimiento es recomendable estar haciendo observaciones al menos durante dos o tres dias, a razón de dos o tres observaciones por noche,  y continuar durante 11 ó 12 noches más, con una observación diaria. De esta forma nos aseguramos un seguimiento más o menos bueno para los satélites más rápidos, los más cercanos al planeta, y tambien al prolongarlo durante este tiempo, para los más alejados del planeta y lentos.

   Lo más cómodo es hacer este seguimiento tomando fotografías (siempre será más preciso medir distancias sobre papel, que con el ocular micrométrico). Es importante anotar el tiempo con la mayor precisión que podamos.

   Os muestro algunas de las que yo tomé este verano para hacer el estudio:

jupiter280708meade152ed-20h33m-copia

 

jupiter200708meade152ed-23h23my25m-copia

 

jupiter280708meade152ed-20h33m-copia

 

   Una vez hechas las observaciones, o tomadas las fotografiás, viene uno de los momentos más delicados: identificar en cada fotografía cada uno de los satélites. Con paciencia y tiempo acabaremos haciendolo pero normalmente hay que dedicarle un buen rato. Una vez identificados, hay que medir cuidadosamente para cada uno de ellos, su distancia a Jupiter, y sí está al Oeste o al Este del planeta. Toda esta información hay que pasarla, una vez que la tengamos a una gráfica, para entender el comportamiento.

   Para cada uno de los satélites se toma un folio de papel milimetrado, se toma un sistema de referencia. El eje de abcisas lo dejaremos para el tiempo y el eje de ordenadas para las distancias al planeta, conviniendo por ejemplo que si el satélite se encuentra al Este entenderemos que su ordenada es positiva y que si se encuentra al Oeste su ordenada es negativa.

   Hecho esto, nos quedará para cada satélite una gráfica con aspecto sinusoidal en la que podremos ver claramente los datos que buscamos: su máxima separación del planeta, ( el radio de su órbita) y su periodo de traslación. 

   Si hemos sido cuidadosos en el proceso que os he descrito, obtendremos unas muy buenas aproximaciones a las medidas que se aceptan como reales en la actualidad. Estas medidas, os la muestro en la siguiente tabla:

 

   Satélite                                           Máxima elongación (en radios de Jupiter)               Periodo de traslación (en dias)

        Io                                                             5,9014                                                                                                 1,769

   Europa                                                       9,3910                                                                                                  3,551

  Ganímedes                                              14,9796                                                                                                  7,155

   Calixto                                                     26,3579                                                                                                16,689

 

   Con todos estos datos y bajo la suposición de que las leyes que rigen el movimiento de estos satélites en torno a Jupiter son las mismas que rigen el movimiento de los planetas en torno al Sol, podemos calcular, por 4 veces ahora, la masa de Jupiter, de ma nera análoga a com procedimos para calcular la masa del Sol, i. e.: utilizando:

    T² / R³ = (4.Π²) / (G.M).

   Donde:  G= cte de la gravitación universal.

                    T= periodo de traslación del satélite.

                    R= radio de la órbita del satélite.

                   M= masa de Jupiter. 

   Conocida la masa del planeta, seguro que se os ocurre calcular algunas otras cosas, pero sabiendo que se avecinan los exámenes no os voy a robar más tiempo con esto.

   Vamos a enunciar de esta manera los últimos problemas de nuestro concurso.

   Antes de hacerlo, deseo hacer una nota a modo de despedida: Mi experiencia con esto ha sido positiva, me ha gustado ver como crecía en vosotros el interés por investigar mínimamente sobre estos números que suelen ser lo que menos ocupa en los libros y lo más trabajoso de descubrir. Lo que pone el límite de las mejores mentes de cada generación y nos muestra de la manera más expresiva que conocemos lo que representamos en la globalidad del Universo. Espero que a vosotros os haya servido para algo, sólo eso estaba en mi mente cuando decidí iniciarlo.

   Deseo que os vaya estupendamente en vuestros estudios uninversitarios.

   En fin, paso ya a enunciar los problemas.

Problema 1: Calcular la distancia de la Tierra a Jupiter.

Problema 2: Calcular el radio del planeta Jupiter.

Problema 3: Calcular su masa.

   Recordaros por último que sobre finales de mes, se harán públicos los nombres de los equipos ganadores.

   Buena suerte a todos. Me ha gustado mucho compartir esto con vosotros.

      

 

 

 

           

 

CONCURSO DE ASTRONOMÍA. QUINTO PROBLEMA.

CONCURSO DE ASTRONOMÍA. QUINTO PROBLEMA.

ABRIL 2.009.

CÁLCULO DEL PERIODO DE ROTACIÓN DE ALGUNOS PLANETAS.

    Basta observar durante un buen rato al telescopio algún planeta del que podamos distinguir algún detalle, para darnos cuenta de que lentamente, muy poco a poco su superficie sufre una rotación.

   Para determinar tal rotación, básicamente, bastaría con hacer un seguimiento de algún detalle distinguible sobre la superficie del planeta, tratando de determinar a que velocidad se desplaza sobre su paralelo correspondiente.

   En principio, este seguimiento lo podemos hacer de dos maneras:

Visualmente, con un ocular micrométrico y algún aparato que nos mida el tiempo con precisión, por ejemplo un cronómetro.

Un método que aunque en teoría debe funcionar bien, en la práctica y dependiendo del planeta al que le hagamos el seguimiento puede darnos bastantes problemas.

Sobre fotografias, hechas con el mismo telescopio y con un intervalo de tiempo lo suficientemente grande como para notar desplazamiento en la superficie y no tan grande como para que el detalle superficial que seguimos pase a la cara oculta para nosotros.

   En los casos que nosotros vamos a estudiar, Marte y Jupiter, dos fotografias tomadas con un intervalo entre una y dos horas puede valer.

   Esta forma de tomar los datos es más efectiva que la visual.

   Vamos a seguir nosotros la rotación de los planetas Marte y Jupiter a través de las excelentes fotografias de dos magníficos astrofotógrafos cordobeses: Jesús R. Sánchez que amablemente nos ha cedido las tomas de Marte, y Manolo Barco que con la misma generosidad nos ha cedido las de Jupiter.

   No quiero seguir, sin mostrarles a ambos mi agradecimiento y gratitud por cedernos estas estupendas imágenes.

   Voy a intentar ahora ilustraros el proceso a seguir para la determinación de la rotación.

   Fijemonos en un detalle sobre la superficie del planeta que sea fácilmente distinguible en las dos fotografias y determinemos el paralelo por el que transita.

   Vamos a tomar este paralelo y lo vamos a representar en el plano.

   Notemos por O al centro de la circunferencia que forma nuestro paralelo, por A al punto donde se encuentra el detalle a seguir en el instante "t" y por B al punto donde se encuentra en el instante "s". Si nos fijamos en el triángulo AOB, nos encontramos con un triángulo isósceles ( OA y OB son radios del paralelo), del que podemos calcular las medidas de los lados OA, OB y AB ( realmente no medimos el segmento AB sino el arco de la circunferencia entre los puntos A y B, pero esta aproximación supone un error aceptable en nuestros cálculos).

   Si notamos por "a" al ángulo con vértice en O y por "b" a los ángulos en los vértices A y B, tendremos:

   a + 2b= 180.

   Un sencillo cálculo nos permite expresar "b" en función de "a", b = (180-a)/2.

   El teorema de los senos nos permite ahora calcular el valor de "a", de la siguiente manera:

   AB/sen(a) = OA/sen((180-a)/2); AB sen(90-a/2) = OA sen(a);

entonces: AB (sen(90) cos (a/2) – cos(90) sen(a/2)) = OA sen (a).

luego: AB cos(a/2) = OA sen(2 (a/2)); i.e. : AB cos(a/2) = 2 OA sen(a/2) cos(a/2).

   Como tenemos certeza de que 0 < a < 180, pues el detalle a seguir siempre permanece en la misma cara del planeta, podemos deducir que: 0 < a/2 < 90, i.e. : cos( a/2) > 0, y por tanto:

   AB = 2 OA sen (a/2). 

   De donde deducimos por último que AB/2 OA = sen (a/2); o lo que es equivalente, y lo que más nos interesa a nosotros:    a/2 = arc sen(AB/2 OA).

   El ángulo "a" vale en consecuencia: a = 2 arc sen(AB/2 OA).

   Conocido el valor del ángulo "a" lo que conocemos en realidad es el ángulo que ha rotado el detalle distinguible a lo largo de su paralelo en el tiempo "s-t". Si pretendemos saber cuanto tardará en recorrer 360º bastará con hacer una regla de tres.

   Bien, deciros por último antes de dar un enunciado formal a los problemas, que debeis pasaros por el Departamento de Matemáticas para recoger copias en papel de las fotografias de Marte y Jupiter que hay que utilizar para las mediciones.

   Nos resta por último enunciar los problemas para este mes.

   Problema 1: Determinar, utilizando las fotografias suministradas y el método descrito, el periodo de rotación de Marte.

   Problema 2: Determinar de la misma manera el periodo de rotación de Jupiter.

         

 

 

Midiendo el radio terrestre

Durante la mañana de ayer se pudieron ver atareados por las pistas deportivas, capitaneados por José Carlos Domínguez. No se trataba de ningún nuevo y extraño deporte, con herramientas tan dispares como un recogedor de basura y un telescopio, sino que participaban en la aventura de rememorar las experiencias de Eratóstenes hace unos 2300 años.

El proyecto, enmarcado en este Año Internacional de la Astronomía, tenía por objetivo que miles de estudiantes de toda España participasen en este  experimento científico conjunto: repetir el método que ideó Eratóstenes para obtener el radio de la Tierra.

Os mostramos algunas de las fotografías que los mismos participantes realizaron. Gracias por su labor y enhorabuena a todos ellos.

La noticia en algunos medios:

Concurso de Astronomía: cuarto problema

CONCURSO DE ASTRONOMÍA. CUARTO PROBLEMA.
MARZO 2.009.
ALGUNAS MEDIDAS SOBRE EL SOL.

Sobre 1.619 y diez años despues de haber enunciado sus dos primeras leyes, Johannes Kepler, en su obra:                    ” Harmonices mundi”, anunció el descubrimiento de su tercera ley: ” La relación entre el cuadrado del periodo de revolución de un planeta en torno al Sol y el cubo del semieje mayor de su órbita, permanece constante para todos los planetas“.
En otras palabras, si llamamos T al tiempo que tarda un planeta en recorrer su órbita y R al semieje mayor de ésta, se cumple que la razón:   T²/R³ vale lo mismo para todos los planetas.

   Años más tarde, Isaac Newton, con sus tres leyes y la ley de la gravitación universal, corroboró teóricamente que debía ser así a través del siguiente razonamiento:

   Para que se conserve la estabilidad  de la órbita de un planeta cualquiera alrededor del Sol, debe ocurrir que la fuerza de atracción Fg entre el Sol y el planeta, debe ser igual a la fuerza centrífuga que tiende a hacer que el planeta escape de la órbita Fc.

estabilidadorbita

i.e.: ha de ocurrir que Fg = Fc.

   Ahora bien, ocurre, según la ley de gravitación universal: Fg = G (Ms . Mp)/R².

Donde:  G = cte de la gravitación universal.  Ms = Masa del Sol.  Mp = Masa del planeta.

   Y por otra parte, la fuerza centrífuga del planeta en su órbita, que por simplicidad supondremos circular: 

   Fc = Mp. ap = Mp . (4. ∏²/T²). R

   Si ocurre que Fg = Fc, podemos deducir:  G. (Ms . Mp) / R² = Mp. (4. ∏²/ T²). R.

  Y por tanto:   T² / R³ = (4. ∏²)/ G. Ms

   Esta igualdad, como vemos, tiene en su segundo miembro una cantidad cte., lo que hace que la razón  T² / R³ sea fija para cualquier planeta. Y no sólo esto, sino que esta cantidad, suponiendo conocido el valor de la cte. de la gravitación universal G, sólo depende de la masa del Sol, i. e. si logramos determinar el valor de la cte.  T² / R³, conoceriamos el valor de la masa del Sol.

   Desde el momento en que Kepler enunció su tercera ley, las distancias relativas entre los planetas conocidos, 6 por aquella época, estaban calculadas.

   Si notamos por Rt a la distancia entre la Tierra y el Sol, y con algo de paciencia, determinamos el periodo de traslación de algún planeta, pongamos por ejemplo Marte, cuyo periodo real es de 1,882 años terrestres ( 687 dias), podemos escribir, según esta tercera ley: 

   (1 año)² / (Rt)³ = (1,882 años)² / (Rm)³. 

   Donde Rm es la distancia entre el Sol y Marte.

  Haciendo operaciones, de una manera simple obtenemos que Rm ≈ 1, 52 Rt.

Determinamos así que el radio de la órbita de Marte es aproximadamente  1,52 veces el radio de la órbita de la Tierra.

   Y esto sin duda, lo podemos repetir para cualquier planeta, sin más que conocer su periodo orbital.

   Como vemos, de esta manera podemos obtener una representación a escala de la medida del sistema Solar, tomando como unidad la distancia que separa a la Tierra del Sol. En adelante, llamaremos a esta distancia unidad astronómica, y la notaremos por U. A.

   Si pretendemos tener una idea verdadera de las distancias que nos separan, queda claro, en virtud de todo lo anterior, que necesitamos conocer la distancia real de al menos uno de los planetas al Sol.

   Hubo en la antigüedad intentos para calcular esta distancia, de entre ellos cabe destacar el método utilizado por nuestro conocido Aristarco de Samos, quien razonó como sigue:

distancia-tierrasol

   Midió el ángulo β, que forman Luna – Tierra – Sol, cuando la Luna está exactamente en cuarto creciente ( ó en cuarto menguante), momento en que suponía para el ángulo α un valor de 90º.

   Medido β, tomando para α un valor de 90º y conocido el valor de la distancia entre la Luna y la Tierra, resolver el triángulo rectángulo no tenía ya dificultad alguna.

   Otro método que a nivel teórico puede resultar válido es el descrito a continuación:

distanciamio-copia

 

 

   En el triángulo OAB de la figura, y en el momento de la culminación del Sol, podemos intentar medir los ángulos α y β. Para α no debe haber problema alguno, pues se trata del ángulo que medimos con el gnomon para el problema del radio de la Tierra, y para β, bastaría con utilizar una plomada y un semicirculo por ejemplo. Si apuntamos con un semicirculo invertido en el que previamente hemos colocado una plomada, al centro del Sol y anotamos la medida que marca la cuerda de la plomada en la graduación del semicírculo, estamos midiendo en teoría el ángulo β. Medidos α y β, y conocido el radio de la Tierra, tampoco debe haber dificultad en resolver el triángulo y calcular la distancia de la Tierra al Sol.
   Os tengo que decir, que yo he intentado hacer las mediciones necesarias en ambos casos, en repetidas ocasiones, y  siempre tropiezo con el mismo problema: el grado de precisión de las medidas que se toman con los medios a nuestro alcance hacen que los errores sean enormes. Se necesita una precisión de divisiones de grado, preferiblemente segundos para que los datos empiecen a ser fiables. Algo fuera del alcance de un semicírculo de los que nosotros utilizamos.
   No es de extrañar a la vista de lo descrito, que hubiera que esperar hasta 1.672 para que los astrónomos Jean Richer y Giovanni Domenico Cassini hicieran el primer intento serio y fiable del calculo de la U. A., y además lo hicieran de una manera indirecta, pues lo que midieron fue la distancia entre la Tierra y Marte.
   Aprovechando la oposición de Marte de 1.672, ambos astrónomos, con observaciones simultaneas, uno desde París y otro desde la Guayana, utilizando un método que no dudo de que podais entender si lo desarrollamos pero que escapa a los propósitos de este concurso, lograron determinar que el  ángulo bajo el que se ve el radio terrestre desde Marte es de 21″ ( en realidad es de 17″ ).
tierramarte
   Con este dato y conocido el radio de la Tierra, a la vista de la figura anterior, es fácil determinar la distancia de la Tierra a Marte. Conocida esta distancia, pensando en el momento en que Sol – Tierra – Marte están alineados y recordando el dato obtenido a modo de ejemplo, de que:   Rm ≈ 1,52 Rt, podemos obtener la distancia entre el Sol y la Tierra.
   Hubo que esperar aún muchos años hasta que en 1.761, y observando un tránsito de Venus por la superficie Solar en dos lugares de la Tierra bien separados, se precisara ahora: el ángulo bajo el cual se vería el radio terrestre desde el Sol. Se obtuvo para este ángulo un valor de 8,8″.
paralajesol
   Se ha precisado esta distancia despues aún más, utilizando el asteroide Eros. A través de él, se ha calculado una “paralaje”  para el Sol ( ángulo bajo el cual se ve el radio terrestre desde el Sol), de 8,79″ de arco.
   Despues de toda la narración anterior, es claro que se tiene una buena idea en la actualidad de las distancias y de la medida del sistema Solar, aunque como tambien ha quedado claro, su trabajo ha costado.
   Antes de proponer los problemas de este mes, os quiero convocar una de estas mañanas, para medir el tamaño angular del Sol, con un filtro solar adecuado y el ocular micrométrico tomaremos la medida que nos permita completar los datos para resolver los siguientes problemas:
   Problema 1: Calcular la distancia Tierra – Sol, utilizando la paralaje de Marte calculada por Richer y Cassini ( 21″ ) y el hecho de que  Rm ≈ 1,52 Rt.
   Problema 2: Calcular la distancia Tierra – Sol, utilizando la paralaje para el Sol obtenida a través del asteroide Eros, i. e. : 8,79″.
   Problema 3: Para este último valor de la distancia Tierra – Sol, y conocido el valor de “G”, calcular la masa del Sol.
   Problema 4: Para nuestra medida del tamaño angular del Sol, calcular el radio de éste, su volumen y su densidad.

Concurso de Astronomía

Kalipedia, con motivo del Año Internacional de la Astronomía, además de elaborar un especial informativo sobre Astronomía, ha convocado un concurso, Tu cielo favorito, en el que solicita una foto o un dibujo- en formato jpg y un máximo de 3072 kb.- que represente el cielo.

Algunos alumnos han subido ya muy hermosas fotos y dibujos. ¿Por qué, a partir de las observaciones que debéis realizar en el Concurso de Astronomía, no os animáis a tomar algunas fotos del cielo desde Córdoba y las enviáis a Kalipedia? José Carlos- no lo dudéis- os ayudará.

CONCURSO DE ASTRONOMÍA. TERCER PROBLEMA

CONCURSO DE ASTRONOMÍA.

FEBRERO 2.009.

 TERCER PROBLEMA.

   Entre las mediciones descritas en el problema de Enero, y que efectuó Aristarco, hay una que dá idea del tamaño angular de la Luna en el espacio. Aristarco midió en el eclipse, el tiempo que transcurrió desde que la Luna comenzaba a entrar en el "cilindro" de sombra producida por la Tierra hasta que se ocultó por completo. Midió el tiempo transcurrido entre las posiciones 1 y 2 de la siguiente figura.

febrero1    Midió con esto, sin duda, el tiempo que tardó en desplazarse un diámetro lunar completo sobre el fondo del cielo. Lo estimó al parecer en 1 hora.

Asignando una medida angular, por ejemplo de xº , a tal desplazamiento ( xº correspondería a 1 diámetro lunar), razonó de la siguiente manera: El periodo de traslación lunar es fácil de determinar y era bien conocido por él, unas 656 horas aproximadamente ( unos 27,3 dias ).
Una simple regla de tres, dá una estimación para "x":
360º_______ 656 horas
xº ________ 1 hora.
Haciendo los cálculos correspondientes obtenemos para "x" un valor de 0,5487º, ó haciendo la conversión a minutos, unos 32,92'.

Si observamos ahora la siguiente gráfica: 


 

febrero2
Nos encontramos con un triángulo rectángulo AOB, en el que conocía el ángulo: "x/2" (donde "x" es el ángulo medido anteriormente, por ser el triángulo ABC un triángulo isósceles) y también conocía la medida del lado OB, el radio real de la Luna calculado previamente.
Con estos datos, calcular la longitud del segmento AB era ya un ejercicio trigonométrico muy simple. Conocido en nuestro triángulo rectángulo, la hipotenusa, AB y uno de sus catetos, OB, calcular la longitud del otro cateto, AO no debió ocasionarle muchos problemas. Y es claro que calculando la longitud del segmento AO, estaba calculando la distancia desde su posición, A, hasta el mismo centro de nuestro satélite, O. Hay que insistir, no obstante, en que no se atribuye mucha precisión a los cálculos efectuados por Aristarco.
Parece que fue Hiparco de Nicea (190 a.C.-120 a. C.), al que muchos consideran el primer astrónomo científico, quien mejoró bastante los cálculos efectuados por Aristarco.
Nuevamente, pretender repetir de manera fiel la forma en la que tanto Aristarco como Hiparco tomaron sus mediciones, pasa por esperar un eclipse total de Luna.
Afortunadamente, disponemos de alguna alternativa a esta opción. Para hacer medidas sobre el fondo del cielo con el telescopio, se utilizan unos oculares especiales que llevan impresas unas lineas y unos semicírculos que nos permiten determinar distancias y ángulos. Estos oculares reciben el nombre de oculares "micrométricos", y bien utilizados, junto con una tabla de conversión que contemple las características del telescopio utilizado nos proporcionan medidas bastante fiables.
La próxima Luna llena, la tendremos el dia 9 de Febrero. Os convoco este día, a todos los grupos, o al menos a un miembro de cada grupo, para que obtengais, utilizando los telescopios que tenemos y un ocular micrométrico que yo os proporcionaré, vuestras propias medidas del tamaño angular de la Luna.
Sólo nos queda, creo, dar un enunciado formal para nuestro problema del mes de Febrero:

Problema 1. Calcular la distancia a la que se encuentra la Luna, desde nuestra posición, calculando previamente su tamaño angular.


   Nota
: Para el radio de la Luna, utilizad todos el mismo valor: 1.738 Km.

  

 

CONCURSO DE ASTRONOMÍA. SEGUNDO PROBLEMA.

CONCURSO DE ASTRONOMÍA.

ENERO 2.009
SEGUNDO PROBLEMA.

Hay que volver a remontarse a la Grecia de los siglos III y II a. C. para buscar los primeros intentos de medición de las dimensiones de Luna, así como la distancia que nos separa de ella.

Paradójicamente, la figura de Aristarco de Samos ( sobre 310 a. C. – sobre 230 a. C.), sea quizás más conocida por unos trabajos que no han llegado hasta nosotros y de los que sólo nos quedan citas de Plutarco y de Arquímedes, que por trabajos suyos que sí han sobrevivido hasta nuestros dias. Los trabajos perdidos, constituyen una defensa del modelo ” heliocéntrico”, que se oponian a la corriente ” geocéntrica” defendida unos años antes por el mismísimo Aristóteles. En el único trabajo que ha llegado a nuestras manos: ” De los tamaños y las distancias del Sol y de la Luna” es donde expuso y relató los métodos utilizados para medir las distancias que se citan en el título.

En las fuentes que yo he consultado existen unas mínimas diferencias en la descripción del proceso, vamos a seguir nosotros el método menos sofisticado, en el que se supone (como en el problema del mes de diciembre), que el Sol está lo suficientemente lejos como para que sus rayos nos lleguen paralelos y la sombra producida por la Tierra corresponda a un cilindro y no a un cono.

Bajo esta suposición, se dispuso Aristarco a observar un ecclipse de Luna y tomó las siguientes medidas:

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Midió en principio el tiempo que tardó la Luna en pasar de la posición 1 , ( 1ª toma de contacto con la sombra producida por la Tierra) a la posición 2 (momento en que penetra al completo en la sombra).

Midió despues el tiempo que tardó en pasar de la posición 2 a la posición 3.

Suponiendo que el único cuerpo que sufre algún desplazamiento en este tiempo es la Luna, y que se mueve de manera constante, es claro que estas mediciones muestran la relación existente entre los diámetros “d” de la Luna (distancia entre posición 1 y posición 2) y “D” de la Tierra ( distancia entre la posición 2 y la posición 3).

El grado de precisión que obtuvo Aristarco no parece que fuera muy grande, pero la idea y el método han perdurado a lo largo del tiempo, mostrando nuevamente la potencia del razonamiento humano.

Para repetir la experiencia de Aristarco exactamente como él la hizo, tendríamos que esperar al próximo eclipse total de Luna.

Despues de aproximadamente unos 2.300 años, afortunadamente, aunque conservemos la idea ( comparar los diámetros de la Luna y la Tierra), podemos tomar algún “atajo”, utilizando la técnica.

Vamos a utilizar algunas fotografias, cedidas cortésmente por el astrónomo aficionado cordobés Paco Bellido (a quien aproveho para mostrar mi agradecimiento), de uno de los últimos eclipses de Luna. Mostramos aquí alguna, pero en papel, podeis recogerlas en el departamente de Matemáticas.

eclipse1

eclipse-2

Se trata, de que con los métodos geométricos adecuados ( basicamente, trazar circunferencias que pasan por tres puntos, con regla y compás. Algo que con seguridad habreis hecho alguna vez), delimiteis las dos circunferencias en cuestión, la de la sombra de la Tierra, y la de la Luna. Estudieis la relación existente entre ambos radios, y recordando el valor calculado para el radio de la Tierra, establezcais la regla de 3 correspondiente para calcular el radio de la Luna.

El enunciado de este problema puede quedar así:

Problema 1: Calcular el radio de la Luna, utilizando las fotografías suministradas y conocido el radio de la Tierra. (Utilizad para el radio de la Tierra, la medida oficial de su radio ecuatorial: 6.378 Km.)

Una vez conocido el radio de la Luna, os voy a proponer un problema más:

Paco Bellido, nuestro amable colaborador de este mes, cuenta con algunos “blogs”. Entre ellos, en la dirección: www.mizarblogalia.com, en su blog: “El beso en la Luna”, aparece un enlace, en su margen derecha, que muestra cartografía lunar de muchos tipos. Clickear en el enlace: “Lunar Map Catalog”. Una vez metidos aquí, podeis seguir por ejemplo entrando en ” Lunar Landing Site Chart” y abrid aquí la ampliación y resolución que creais más conveniente (si alguno de vosotros prefiere otro tipo de carta en la pantalla anterior, tambien vale). El problema que os propongo, en el que utilizamos tambien unas fotografías suyas, es el siguiente:

Problema 2: Identificar, ayudándose de los mapas de estas páginas, al menos tres cráteres en las fotografías siguientes , y calcular sus dimensiones comparándolas con el radio de la Luna.

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Bueno, pues espero que os paseis a recoger las fotos.

Buena suerte a todos. Espero vuestros resultados antes de fin de mes.

Charla-coloquio “Descubriendo el universo”

Enmarcado dentro de los actos conmemorativos del año internacional de la Astronomía 2.009 que celebramos en nuestro instituto, el pasado viernes 9 de Enero disfrutamos de una interesantísima charla-coloquio con la que nos deleitó nuestro paisano, miembro de la agrupación astronómica de Córdoba AAC y astrónomo profesional, Ángel R. López Sánchez.
Bajo el título: “Descubriendo el Universo” nos fuimos sumergiendo los asistentes en un ameno viaje, en principio por nuestro vecindario más cercano: el sistema Solar, y después, tras una breve pausa, por nuestra Galaxia. Salimos fuera de ella para conocer nuestro grupo local y terminar conociendo los supercúmulos de Galaxias. Por el camino, conocimos con detalle la vida de las estrellas, desde su nacimiento hasta las diferentes formas en las que pueden terminar sus dias.

En definitiva, dos horas de agradable viaje por el Universo.

Gracias Ángel Rafael.

CONCURSO DE ASTRONOMÍA. PRIMER PROBLEMA

CONCURSO DE ASTRONOMÍA

DICIEMBRE 2008

PRIMER PROBLEMA:

ERATÓSTENES Y EL RADIO DE LA TIERRA. VOLUMEN.

NEWTON Y LA MASA DE LA TIERRA. DENSIDAD.

1. Basta teclear en nuestro ordenador la palabra “Eratóstenes” en algún buscador potente, para que aparezcan del orden de centenares de miles de entradas que la contengan. En muchas de ellas, encontraremos una pequeña biografía de nuestro personaje y una descripción de lo que aportó a la ciencia de la época. La mayoría narran la mayor proeza de nuestro personaje: medir la longitud de un meridiano terrestre sin más instrumentos que un palo y mucha imaginación.

Nació Eratóstenes de Cirene sobre el año 280 a. C., conoció a Arquímedes, y fue llamado sobre el 236 a. C. para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría. La dirigió hasta el fin de sus dias, hecho que tuvo lugar sobre el 194 a. C.

Era conocido por sus contemporáneos bajo el apodo de: “el beta” (“β”, segunda letra del alfabeto griego) porque parece ser que era el segundo en todo aquello que hacía. En lo que se refiere sin embargo a este logro, superó con creces esa segunda posición.

Parece que fue en la Biblioteca, donde leyó en un papiro, que en la ciudad de Siena ( hoy Asuán, en Egipto), el día del solsticio de Verano, a mediodía, los objetos no proyectaban sombra alguna, y el Sol se reflejaba en el fondo de los pozos. Se aprestó entonces a ver si en Alejandría ocurría igual que en Siena. Y comprobó como los objetos en Alejandría, el dia 21 de junio al mediodía proyectaban sombra. Suponiendo que el Sol lo suficientemente lejos, y es tan grande como para que sus rayos nos lleguen paralelos, la primera conclusión era evidente: la Tierra no podía ser plana. Admitiendo entonces que pudiera tener forma esférica y que Siena y Alejandría pudieran estar ambas en el mismo meridiano, midió la sombra que proyectaba en Alejandría un palo vertical sobre la superficie, y haciendo el gráfico que se ilustra a continuación llegó a la conclusión de que los rayos del Sol que a Siena llegaban en vertical, llegaban a Alejandría con una inclinación de alrededor de 7º.

Dado que dicha inclinación α coincide, como vemos, con la porción angular del meridiano en cuestión, se obtiene directamente que la porción de este meridiano entre Siena (Asuán) y Alejandría corresponde exactamente a 7º.

Intentó averiguar, después de medir el ángulo, la distancia real entre ambas ciudades, y la cifró en unos 800 Km. aproximadamente.

Le restaba hacer una simple regla de tres para determinar la medida del meridiano completo.

Con estos datos, podéis comprobar vosotros mismos como la medida del meridiano completo debe ser 41.143 Km.

Para deducir por último el radio de la Tierra, le restaba recordar la relación existente entre la longitud y el radio en una circunferencia.

Para estos números que nosotros manejamos, se comprueba sin dificultad que queda un radio terrestre de aproximadamente 6.548 Km.

La medida que se acepta actualmente para el radio polar de la Tierra es de unos 6.356,75 Km. Como vemos, para la época y para la forma en la que se hizo, el radio obtenido por Eratóstenes es una muy aceptable aproximación de la medida real.

De toda la narración anterior, la pregunta más delicada es sin duda la siguiente: ¿ Cómo midió Eratóstenes el ángulo α ? Para responderla, observemos el triángulo de vértices O,A,B de la figura anterior, algo ampliado:

Conocida la longitud del palo vertical OA, la longitud de la sombra que proyecta OB, y el hecho de que la recta tangente OB y la recta normal OA en el punto de tangencia O forman un ángulo de 90º, resulta fácil recordar que se cumple:

tg α = OB/OA.

En la época de Eratóstenes ya se disponía de los conocimientos que se requieren para estos cálculos. Para nosotros con nuestras “potentes” calculadoras, conocer desde aquí el ángulo α, es simplemente cuestión de tomar dos medidas y teclear apropiadamente en nuestros aparatos.

Intentar repetir desde nuestra posición el experimento de Eratóstenes, pasa por buscar un lugar en nuestro mismo meridiano, no demasiado cercano, y medir la inclinación con la que los rayos solares inciden en las dos posiciones seleccionadas, en el mismo momento, y que éste sea el momento de la culminación del Sol.

Profesores del I. E. S. de Llanes, en Asturias, a quienes quiero agradecer el gesto y la colaboración, van a compartir con nosotros la experiencia. Haremos las mediciones, un día de mediados de diciembre, que ya os comunicaremos con antelación.

Pero ocurre que nosotros tenemos un problema añadido que no tuvo Eratóstenes: en ninguna de nuestras posiciones va a incidir el Sol, ningún día del año ni a ninguna hora, sin que los objetos proyecten sombra alguna. Seguro que si pensais un poquito sobre esto, hallareis vosotros mismos la razón.

Para entender ahora nuestra situación real, observemos la siguiente figura:

Vemos, como midiendo los ángulos α y β, podemos conocer ahora la porción angular γ, del meridiano que pasa por ambos puntos. La relación existente entre estos tres ángulos es: γ=β-α. Si supieramos la distancia real que separa a Córdoba de Llanes, nos restaría hacer otra regla de tres para calcular la longitud del meridiano correspondiente. Conocida la longitud del meridiano, conocer la del radio polar es ya bastante simple.

Bien, pues el primer problema correspondiente al mes de diciembre queda ya planteado: Calcular la medida del radio polar terrestre, repitiendo la experiencia de Eratóstenes.

Para hacer la medición necesaria, (medir la sombra proyectada por un palo vertical simultáneamente en los lugares seleccionados, en el momento de la culminación del Sol) hay disponibles en el Departamento de Matemáticas unos gnomom, fabricados y facilitados por los profesores y alumnos del Departamento de Madera, a quienes quiero agradecer su colaboración.

2. Como segundo problema para este mes, y conocido el radio de la Tierra, suponiendo para ésta una esfericidad perfecta, no podemos pasar de aquí sin calcular su volumen, para lo que necesitamos una sencilla fórmula matemática. Planteamos pués:

Segundo problema: Cálculo del volumen de la Tierra.

3. Para seguir con el estudio de la Tirra, damos un buen salto en el tiempo, nos vamos al siglo XVII y acudimos ahora a los aportes a la ciencia, de uno de los mayores científicos de todos los tiempos: Isaac Newton, para intentar determinar la masa de nuestro planeta.

Es sin duda Newton, uno de los científicos más conocidos, y su justa y merecida fama es debida a sus estudios tanto en Matemáticas como en Física. En Matemáticas gracias a él y a un matemático algo menos conocido: Leibnitz, disfrutamos de una de los herramientas más potentes y con mayor aplicación a la ciencia:el cálculo diferencial. En Física: ¿quién no conoce las leyes de Newton o la ley de la gravitación universal?. Es justamente ésta última, de la que nos vamos a servir para calcular la masa de la Tierra.

Asegura la ley de la gravitación universal de Newton, que la fuerza F, con la que dos cuerpos se atraen, es directamente proporcional al producto de sus masas M y m, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros de gravedad r.

Matemáticamente: F = G·(M · m / r²)

Donde G es la constante de proporcionalidad llamada constante de proporcionalidad universal.

Antes de seguir, conviene hacer el comentario de que Newton no llegó a conocer el valor de la constante G. Fue años más tarde, cuando el físico Henry Cavendish ideó un dispositivo para determinar su valor, que se fijó en 0,00000000006672 unidades internacionales, i.e. cuando las masas se dan en Kilogramos, la distancia en metros y la fuerza en Newtons.

Después de conocer el valor de la constante de gravitación universal, conocer la masa de la Tierra pasa por utilizar la ley de la gravitación de la siguiente manera:

Tomando un cuerpo cualquiera en la superficie terrestre del que conozcamos su masa “m”, si pensamos que la fuerza con que la Tierra y este cuerpo se atraen es el propio peso del cuerpo, y despejamos la masa de la Tierra “M”, de nuestra fórmula, obtenemos:

M = (F · r²)/(G · m)

Asumiendo por último que la distancia que separa los centros de gravedad de ambos cuerpos (la Tierra y nuestro objeto ) es el propio radio de la Tierra, ya conocido por nosotros desde el problema 1, en la igualdad anterior, sólo desconocemos la masa de la Tierra “M”. Basta para conocerla hacer los cálculos pertinentes.

Queda de esta forma planteado el problema 3 en la forma siguiente:

Problema tercero: Calcular la masa del planeta Tierra.

4. Para finalizar los problemas de este mes, conocidos la masa y el volumen de la Tierra, no podemos desaprovechar la ocasión para calcular la densidad media de nuestro planeta:

Problema cuarto: Calcular la densidad media del planeta Tierra.

En resumen, para este mes, debeis entregar antes de irnos de vacaciones, o como muy tarde el día de la vuelta, i.e. el dia 8 de enero las respuestas a las siguientes preguntas:

Primer problema: Cálculo del radio de la Tierra, repitiendo la experiencia de Eratóstenes.

Segundo problema: Cálculo del volumen de la Tierra.

Tercer problema: Cálculo de la masa de la Tierra.

Cuarto problema: Cálculo de la densidad de la Tierra.

Para el experimento de Eratóstenes, pasad a recoger vuestro gnomon por el Departamento de Matemáticas a partir del día 10. Ya os comunicaremos el día concreto en el que se realizarán las medidas.

Buena suerte a todos y muchas gracias a todas las personas que van a colaborar con nosotros. En especial a los profesores y alumnos del Departamento de Madera de nuestro Instituto, y a los profesores y alumnos implicados en el I.E.S. de Llanes, en Asturias.